ポアンカレ予想

１０月２２日の２２：００からのNHKスペシャルで放映された「100年の難問はなぜ解けたのか～天才数学者　失踪の謎～」を見た。ロシア系ユダヤ人のグリゴリー・ペレリマンが「ポアンカレ予想」を解くまでの１００年にわたる数学者達の戦いの軌跡を追ったもの。私は、ポアンカレ予想が数学のミレニアム賞の７大難問のひとつであることは知っていたが、その内容については全然知らなかったので、今回TVを見たついでに、Webなどで内容を少し調べてみた。ポアンカレ予想とは、

「単連結な3次元閉多様体は3次元球面S³同相である」というもの。何のことを言っているのかさっぱり分からないので、次元をひとつ落とした２次元で考えてみる。２次元球面（地球儀のようなもの）上のある一点から任意の経路でロープを敷いていって、もとの点に戻った時点でロープの両端を引っ張るとロープは回収できる。しかし、もし地球がドーナツのよう中空のある形をしていたなら、そのリングの周りに経路をたどった場合は、ロープは回収できなくなる。この場合、ロープを回収できる場合は、２次元球面のような丸い形をしていることが分かる。ポアンカレはこれを３次元に拡張したものでも同じことが言えると考えた。実際に３次元球面がどういうものか私達にはみることはできないが、TVでは「ロケットにロープをつけて宇宙に打ち上げたと仮定し、そのロケットが宇宙を一周し、自分の手元に戻ってきたところを、ロープの両端をひっぱることで回収できたならば、宇宙は概ね丸いと言える」というたとえで説明していた。

ポアンカレ予想を拡張したものに、「サーストンの幾何予想」というものがある。これは３次元の閉じた図形は全て８種類の基本的なピースの組み合わせで表せるというもので、その中で、単連結、つまり、ロープを渡したときに縮んでしまうのは、３次元球面だけだろうというのが、 ポアンカレ予想だ。従ってこのサーストンの幾何予想を証明すれば、ポアンカレ予想は証明されたことになる。

ペレリマンは、このサーストンの幾何予想を、微分幾何と統計物理の手法を使って証明したそうです。それまでの多くの数学者がこの問題を位相幾何（トポロジー）の手法を使って解こうとしていたのに対して、ペレリマンはその対極にある微分幾何（といっても微分幾何そのものはポアンカレが位相幾何の体系を作る前から存在していた）と何と統計物理まで使って解いたそうです。（ペレリマン自身は、数学よりも理論物理の方が得意だったらしい）具体的にはハミルトンの「リッチ・フロー」という手法を使って証明したそうです。リッチ・フローとは、３次元の図形に、リーマン計量という曲がり具合を与えて、その曲がり具合が平均化する方向に動かした時、 曲がり具合がだんだん均質化されていって、きれいな曲がり具合に収束するだろうということを証明したもの。ただこれを３次元に適用しようとした場合、ある時点で特異点にぶつかってしまって先に進めなくなってしまう。そこでペレリマンは、リッチ・フローはしばらく止めて、先に図形のほうを手術して滑らかにしてから先に進むことでこの問題を解決した。（結果トポロジーが変わってしまう。）

ペレリマンは昨年のこの功績に対して与えられたフィールズ賞の授与を辞退している。この問題解決に全身全霊を使い果たして、精神的に病んでしまったようだ。このポアンカレ予想もそうだが、１０年前に解決された「フェルマーの最終定理」も含め多くの優秀な数学者達がこれらの難問に挑戦し、結果人生を棒に振ってしまい自殺したりしている。数学に努力賞はない。０（解けていない）か１００（解けた）の厳しい世界である。そういえばフェルマーの最終定理を解いたアンドリュー・ワイルズも論文を提出してから穴がひとつ見つかって、それからは人目にさらされての戦いとなった。ギブアップ宣言をしようとした土壇場で、以前に自分が捨てたアイデアの中に問題解決の糸口があることに気がついて、結果として成功することになる。インタビューでワイルズはあのようなひらめきは人生で二度と起きないだろうと言って、その時のことを思い出して泣いていた。数学とは、すごい世界である。

私が生きている間に、これら２大難問が解かれたことに遭遇できたことは幸福だったかもしれない。７大難問と言えば、まだ素数の問題である、「リーマン予想」が残っている。この問題は是非日本人の手によって解決されることを願っている。

 

by チイ

コメント 1

ペレリマン検索でやってきました。
ご専門の音楽、高校の同窓、等々興味深く拝見させていただきました。
亡父も数学教員でバルトーク愛好者、わが生業はC++プログラマです。
趣味は短歌と司馬小説です。
またのぞかせていただきます。

by よすむら (2009-01-29 00:45)